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数学教育论文：英国借鉴的上海数学教育智慧

编者按：本篇数学教育论文旨在讲述：为了解决英国当前基础教育质量欠佳，与新兴产业发展对社会公民素质要求之间的矛盾，英国政府试图通过国际比较借鉴他国经验，发起新一轮课程改革。

近几年来，英国社会和教育界掀起了“掌握教学(teaching for mastery)”的浪潮。从2014年开始，英国每年大规模选派中小学数学教师来沪交流学习，大批上海数学教师也被邀请赴英公开展示课堂。英国众多媒体争先报道上海教师赴英传授“上海教育秘笈”的新闻。英语版《一课一练》和《真正上海数学》(上海数学教材英语版，Real Shanghai Mathematics)在各家书店热售。那么，英国为何要向上海学习?究竟向上海学习什么?“掌握教学”究竟是这么回事?本文就此事的来龙去脉、基本内容作系统探讨。

一、掌握教学：英国借鉴的上海数学教学法(一)英国数学教学改革的背景

为了解决英国当前基础教育质量欠佳，与新兴产业发展对社会公民素质要求之间的矛盾，英国政府试图通过国际比较借鉴他国经验，发起新一轮课程改革。

英国从2000年起就参加了国际学生评估项目(Programme for International Student Assessment，PISA)测试，阅读、科学和数学三门学科成绩均名列前十，然而在2006年的测试中，成绩一落千丈，顷刻之间引起了社会各界的极大批评。2007年英国政府启动课程修订，2008年颁布新的国家课程文件。而此时，上海学生在PISA测试中的杰出表现，吸引了英国教育决策者的目光。在2009年的PISA测试中，共有20个国家或地区的学生成绩显著高于英国，其中排名前五的全部来自东亚地区(中国上海、新加坡、中国香港、韩国、中国台湾)。特别是上海在阅读、数学和科学三科上均获得最高分，上海和英国15岁学生在阅读成绩上的差距达到62分，相当于提前了1.5年，在数学上差距是108分，相当于提前了2.5年，在科学上的差距是61分，相当于提前了1.4年。

2010年剑桥评估中心的关键人物蒂姆·奥茨(Tim Oates)发表了一份重要报告。他呼吁尽早改革英国课程，并强调改革绝对不能靠主观臆断，应当注重证据，让国际比较研究的数据在改革中发挥重要作用。他进而指出，借鉴他国经验，并不意味着去照搬高成绩国家或地区的做法，而是要通过审视他国的教育体制，调整英国教育政策。此后，直至2014年，英国教育部相继出台了国际课程比较报告、国家课程框架、国家课程大纲等重要指导性方案。

英国数学课程大纲希望学校和教师能积极创造环境，使大多数学生能保持大致相同的步调学习数学内容，同时建议教师务必在学生作好充分准备的情况下，再开始后续的教学。对于掌握较好的学生，建议教师给他们提供略有难度的问题，提高他们的能力;对于尚未掌握的学生，建议教师给予他们额外的帮助和补习。从大纲的这些要求来看，英国数学课程的改革体现了本杰明·布鲁姆(Benjamin Bloom)掌握学习的教育理念。

(二)从掌握学习到掌握教学

1968年，布鲁姆首次提出“掌握学习”的教育理念和教学策略。他认为，一个学生必须达到掌握的程度(具体而言，要在测试中达到90%左右的正确率)，才能在已有知识基础上开始后续的学习。如果学生尚未掌握，就要给予额外的支持和帮助，然后进行再次测试，直到该学生掌握为止。只有掌握了这一阶段的学习内容，才能开始下一阶段的学习。在以掌握学习为理论基础的教学模式中，教师和学生的职责发生了转变，学生的失败更多归因于教师的指导，而不是能力的缺乏。20世纪80年代，在特定的历史背景下，为了大面积提高学校的教学质量，我国研究者和教师借鉴掌握学习理论，形成了具有中国特色的各种教学方法，比如目标教学法、青浦“尝试指导、效果回授”数学教学法等。这些教学方法强调了教学目标的达成，突出了及时评价和反馈，形成了具有中国本土特色的教学方式：第一，强调了教学面向全体，通过“抓两头、带中间”的方法实现学生的共同发展;第二，强调了教师对课堂的设计，通过系统性的提问、例题和练习帮助学生逐步达到课堂教学目标。尽管改革开放以来，上海经历了40年的课堂教学改革，在此过程中也形成了多种特色鲜明的数学教学方法，然而也许正是因为上海的教学或多或少地继承了布鲁姆所倡导的教学理念，英国教师才称之为“掌握教学”。

英国社会由于早期受到心理学家西里尔·伯特(Cyril Burt)的影响，认为学生的能力可以通过智商表现出来。因此，学校应当根据学生的能力将其分成不同的小组，展开分层教学。教师应当为不同能力的学生提出不同的学习要求，准备不同的学习内容。英国卓越数学教学中心(National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics,简称NCETM)的主任查理·斯特里普(Charile Stripp)指出，很有可能正是英国小学普遍实施的分层教学，对学生的数学学习产生了负面影响，这也许正是导致英国学生在国际测试中排名落后的根源。他说，事实上，小学分层教学就等于给学生贴上了数学能力强弱的标签，这是极其主观的做法。

相比之下，我国的历史传统强调后天勤奋努力的作用，鼓励儿童只要付出努力，持之以恒，总能获得成功，比如“笨鸟先飞”“只要功夫深、铁杵磨成针”等。事实上，智商测试的发明者阿尔弗雷德·比奈(Alfred Binet)一方面相信儿童的智力的确存在差异，但他另一方面也相信教育可以给学生的智力带来根本性的改变。

近来的研究也表明，那些“认为通过努力就可以提高智力”的思维模式(mindset)，要比“认为智力固定不变”的思维模式更能获得成功。因此，美国斯坦福大学从事数学教育研究的乔·博拉(Jo Boaler)呼吁，我们应当改变儿童数学学习的思维模式，应当让孩子们相信通过个人努力，可以不断提高自己的数学能力。同样，改变教师的思维模式，让教师相信儿童通过努力可以改变他们的数学能力，这不仅能转变教师的教学策略，同时还可以把这种观念传递给学生，进而改变学生的数学思维模式。

(三)英国视野下的上海掌握教学

从2014年开始,在中英数学教师交流的过程中，NCETM不断提炼上海“掌握教学”的特点，最后形成了含有五个核心要素的模型，用于指导教师的专业发展：课程连贯(N1)、结构与表征(N2)、数学思考(N3)、变式设计(N4)、熟练流畅(N5)。2016到2019年期间，英国政府委托谢菲尔德哈莱姆大学(Sheffield Hallam University，SHU)对中英数学教师交流项目进行了评估，他们通过调查和访谈参与项目的英国教师，对掌握教学也提出了四个核心要素：形式多样的课堂互动(S1);强调数学意义和连贯的课堂活动(S2);面向全体学生的教学(S3);记忆数学事实和准确使用数学语言(S4)。并且，他们在每个要素上再细分出若干亚类(见表1)。从表中来看，SHU概括的掌握教学的要素更加丰富，而且完全涵盖了NCETM的五个类别。

不仅如此，他们还通过已有研究文献数据，计算效应值，比较实践与证据之间的匹配程度，最终指出掌握教学中的三个策略对学生的数学学习会产生积极的影响：数学问题驱动的师生互动，使用直观模型与表征，教学中的形成性评价。他们还声称，由于目前研究证据不足，其他方面的效果还有待进一步证实。

教学策略对学生成绩的影响可能是一个复杂的现象，在不同的教育背景中，效果可能是不一样的。同时，引起学生学习成绩变化的未必是单一因素。比如，2012年的PISA数据显示，在84%的经济体内接受形成性评价教学机会越多的学生，他们的成绩表现得越不理想。如果把形成性评价的教学策略与其他教学策略一起考虑的话，那么在36%的经济体内，教学策略对学生的学习成绩不起作用，但是在67%的经济体内表现出负面影响，在中国台湾地区等4个经济体内却表现出积极的影响。另外，我们还发现英国在形成性评价上的指数(0.33，从高到低排名13)要高于上海(0.20，从高到低排名23)。如果综合这些证据来考虑的话，那么SHU关于教学策略对学生学习影响的分析结果，还是值得进一步深入讨论的。

还有一点必须指出的是，尽管西方文献还没有充分的数据证明变式教学对学生数学学习的积极作用，但是费伦茨·马登(Ference Maton)从学习空间的视角出发，通过变异理论解释了变式教学的价值，他指出中国学生之所以能取得如此好的成绩，可能和教师在教学中使用变式问题是分不开的。英国牛津大学安妮·沃森(Anne Wotson)等也指出：“在数学学习的环境中，变式设计很有可能促进了学生学习的不断进步，这是那些非结构化的数学任务所无法达到的。”

二、政策驱动：英国掌握教学的组织实施

英国中小学推行数学掌握教学实际上是自上而下的国家教育政策。2014年英国教育部计划投入1100万英镑，在英格兰成立32个数学中心(MathsHubs)，由NCETM负责协调和管理，组织中英数学教师交流项目，推行掌握教学，目的是尽快提高英国中小学生的数学成绩，努力赶上东亚地区的学生。2015年数学中心增至35个，NCETM开始在各中心建立小学数学掌握教学专任教师项目(PMTMSP)。2016年，英国教育部承诺将在未来投入7600万英镑发展掌握教学项目，到2023年要让9300所小学和1700所中学能参与这个项目。英国教育部资金支持的范围包括：由NCETM领导实施PMTMSP，同时建立中学数学掌握教学专任教师项目(SMTMSP);通过数学中心资助参加PMTMSP和SMTMSP的教师，让他们在其他学校指导实施掌握教学;建立掌握教学的预备项目，提供给有相关需求的小学;在小学阶段资助使用高质量的数学教科书;实施中英数学教师交流项目，每年选派中小学教师到上海进行教学交流。

NCETM在实施掌握教学的过程中起到了十分关键的作用，除了协调数学中心工作、中英数学教师交流和教师专业发展项目外，还为教师开发了一系列教学资源，帮助教师开展掌握教学。首先，NCETM为中小学教师系统开发了掌握教学的评价资料。他们根据英国数学课程大纲，按照数学知识模块分年级为教师勾勒出包含课程要求、教学目标、数学问题和数学活动的教学地图，帮助教师在实践中实施掌握教学。不仅如此，在此之后，NCETM又为中小学教师开发教师专业发展资料，指导如何实施掌握教学。教师专业发展资料围绕课堂，按照各年级的知识模块，提供了教学设计、教学课件和教学录像，希望教师能根据这些资源深刻理解和顺利开展掌握教学。事实上，NCETM所编的资料大都受到上海数学教材和上海课堂的影响。很多例题和习题直接选自上海教材和练习册，教学设计和课件也很大程度上借鉴了上海数学教学方法。

英格兰的35个数学中心主要承担了教师专业发展的职责，其中一项重要的任务就是招募教师实施PMTMSP(2016年开始实施SMTMSP)。从2015年开始，35个数学中心每年共招募140名教师参加PMTMSP。PMTMSP一般为期三年，主要包括三个方面的任务：第一，专业发展，第一年为每个教师提供7天的专业培训，第二年选派其中的70名教师来上海学习掌握教学;第二，服务学校，要求每个教师领导各自所在学校的教研活动，开展掌握教学;第三，提供支持，要求每个教师每年花15～16天的时间领导和帮助6～7所学校开展教研活动，指导掌握教学。在上海教师每年赴英交流的两周内，数学中心还组织和协调当地教师观摩上海教师的课堂，开展教研活动。

由上可知，英国在实施掌握教学的过程中，已经初步建立了一个推行掌握教学的体系。政府、NCETM、数学中心分别通过政策资金、教学资料、教师培训三个方面的协调，共同帮助教师实施掌握教学。不过，在英国目前建立的推行掌握教学的体系中，相应机构承担的职责与上海相比，还存在一定的差别：

第一，上海政府为义务教育阶段的学生免费提供统一的教材和相应的学习资料。统一的课程资料为学校课程和教学管理带来了便利，也有利于学校和教师之间的合作和交流。尽管英国有统一的课程，但是学校拥有高度的自主权，教学资源不统一，英国政府也不给学生提供免费的课程资源。从2016年开始，为了推广掌握数学模式，英国政府开始设立资金，资助学校购买一定数量的教材。

第二，上海教育体系内部分工更加明确。上海市教育委员会下设教研室、师资培训中心分别协调和负责上海各区学校教研和师训工作，并通过各区教育学院的教研和师训两个部门有计划、系统性地促进所有教师不同层次的专业发展。而英国目前只有NCETM协调和管理35个数学中心。数学中心主要以项目的形式提高教师的专业能力，而且覆盖面不大。

第三，上海各区教育学院相对于英国数学中心而言，具有较大的管理权力。各区教育局赋予教育学院权力指导和管理所辖学校的教学实践和教师专业发展。尽管英国教育部在英格兰成立了35个数学中心，但是数学中心并没有政府赋予的权力对所在地区学校数学教学进行业务指导和管理。他们只能通过招募和提供经费支持的方式，吸引周边学校和教师参与。

第四，英国小学实行的是全科教学，教师包揽班级的所有学科。即使在中学实行的是分科教学，但是教师的教学要跨越不同的年级。因此，他们每天的时间和精力几乎都花费在课堂管理和教学上，很少有时间和机会提升自身的专业能力。在这样的情况下，推行和实施掌握教学可能会对教师带来更大的负担。

三、影响广泛：英国推行掌握教学的多维效果(一)中英数学教师交流促进了掌握教学知识的生成

2014年4月,中英两国政府在北京签署了《中英双方关于数学教师交流的协议》，由英国教育部全额资助，每年互派教师赴对方学习访问。到目前为止，中英交流互派数学教师已达720多人次，两地涉及学校超过400所，据不完全估计，参加中英数学教研活动的英国教师人数已超过4万人次。英国教师、专家对上海数学教学的认识也就是在互派交流中逐步形成的。在项目实施的过程中，我们探索和建构了“跨文化的教师实践共同体”，有效促进了英国教师、专家对上海数学教学的理解和认识，进而催生了“掌握教学”知识的形成。

中英教师交流项目每年度从招募教师开始，一直到交流结束为止，周期一般9到10个月。每年中(上海)英(英格兰)分别从4月开始遴选教师，7月对入选教师进行短期培训，11月左右英国教师来沪与中国教师见面会合，每两名中国教师和两名英国教师形成相对独立的“2+2”实践共同体，共同学习和交流数学课堂教学。每年约有35～40个“2+2”教师实践共同体，在上海学校展开为期两周的研修活动。随后，中国教师再奔赴英国学校，以“2+2”教师实践共同体的形式，分别在英格兰35个数学中心开展两周的研修活动，包括课堂展示、教学研讨等。

已有很多研究表明，知识的形成和发展是多样复杂的。比如，根据知识的认知可以分成客体知识、个人知识和群体知识;根据知识的特征可以分成显性知识和隐性知识。而且，显性知识相对于隐性知识而言，仅仅是“冰山之一角”;根据知识和实践的关系可以分成为了实践的知识(knowledge for practice)、实践中的知识(knowledge in practice)和关于实践的知识(knowledge of practice)。在建构跨文化教师实践共同体的过程中，我们认为应当综合性、多角度地看待知识的生成、共享和传播等问题。在不同的阶段，应当秉持不同的观念，采取相应的策略对共同体中知识的生成和发展进行管理。中英数学教师交流项目中知识管理具体经历了如下四个阶段。

一是内部升华：在组织和建立中英教师实践共同体的初期，项目组首先以教师短期研修的形式，把有关中国数学教育特征的显性知识传递给中国教师。希望中国教师能消化和吸收，并把这些知识转化为他们的隐性知识，通过实践合理地表达中国数学教育的理念和智慧。

二是潜移默化：英国教师在实践共同体内通过与中国教师共同备课、观察课堂、讨论教学等方式，体验和领悟中国教师的课堂实践，把中国教师实践中蕴含的跨越文化的隐性知识，转化为符合英国历史文化传统的个人隐性知识，分享中国数学教育知识和经验。

三是外部明示：在中国教师赴英交流期间，中国教师的课堂展示会吸引当地不同学校的教师前来观摩和研讨。在教学研讨的过程中，中英教师共同向前来观摩的教师解释课堂教学设计，述说教学背后的思考。在这个过程中，特别是英国教师逐渐把获得的隐性知识转化为显性知识，并用语言、文字、图表等形式表达他们的所知所想。

四是汇总组合：项目组成员、英国NCETM的专家以及中英教师，在充分参与实践共同体活动的过程中，通过课堂观察、交流研讨、归纳概括，把个人产生的显性知识与已有的知识重新组合和系统化，形成新的中国数学教育特色的知识体系，并以此来指导以后共同体的教师实践，促进新一轮教师实践共同体的螺旋式发展。

掌握教学的知识正是在跨文化的中英教师实践共同体中生成和发展起来的。

(二)英国掌握教学实施以来的学校变化

从2014年英国推行掌握教学以来，教师的教学理念、课堂教学、专业发展以及学生的成绩都发生了不同程度的变化。

2017年SHU分别对2014—2015年和2016—2017年访问上海的两批英国教师进行了访谈，他们发现教师理念在多方面已经发生了明显的变化：一是改变了对学生数学学习的看法，认识到学生的数学能力是动态变化，而非固定不变的;二是认识到数学教学中教师的学科知识以及学科教学知识的重要意义;三是把教师的知识发展和NCETM提出的掌握教学模型紧密地联系了起来;四是增强了教师个人实施掌握教学的自信心。

在开展掌握教学的学校中，学校课堂教学在以下五个方面也发生了显著的变化：一是加强了整班教学的环节，重视课堂师生互动和对话;二是重视利用直观模型和表征促进学生对数学概念的理解，发展学生解决数学问题的能力;三是设计连贯的课堂教学活动，通过“小步前进”的方法，帮助学生掌握概念和技能;四是开展面向全体学生的教学，努力保持课堂教学内容和进度的统一性，针对学生不同能力谨慎开展分层教学;五是重视准确使用数学教学语言，强调记忆数学事实，熟练数学技能。

NCETM、英国教师和研究者发现，上海的教研组(teacher research group)对教师的专业发展起到了十分重要的推动作用。他们认为上海教研组作为扎根学校的教师专业发展模式，具有同伴合作、贴近实践、聚焦数学这三个方面的重要特征。SHU指出，上海教研组具备的上述教师专业发展特征，已被大量研究数据证明对提高教师的实践能力具有非凡的意义。特别是上海公开课同伴相互观摩课堂的教研方式极大地改变了英国教师的原有传统观念，并在英格兰35个数学中心迅速推广。从经济合作与发展组织(Organization for Economic Co-operation and Development, OECD)最新公布的2018年教师教学国际调查(Teaching and Learning International Survey, TALIS)结果来看，也可能反映了这样的变化。英国教师在“同伴观摩”教师专业发展活动上的程度(71%)远远高于OECD的平均值(44%)，这是其余任何教师专业发展活动所无法比拟的。

掌握教学的改革对学生的学习成绩也产生了不同程度的影响。两年内在认真实施掌握教学的小学中，低学段(1到2年级)学生的成绩比其他学校有了显著性的进步。研究还发现，在上述学校，尽管高学段(5到6年级)学生的成绩比其他学校进步略有增加，但是尚没有达到显著性的程度。从这个结果来说，掌握教学对英国学生成绩进步的影响，总体来说是积极正向的。但这种影响可能是一个缓慢而渐变的过程，还需要在今后一段时间内作进一步细致和长远的评估。

四、未来镜鉴：上海数学教学的反思与讨论

英国教育界把上海数学教学方法称为掌握数学，并在多个层面概括和总结上海数学教学的特点。在英国政府的积极推动下，短短几年，上海数学教学方法无论是对教师的教学理念、学校课堂教学，还是学生的成绩进步，都产生了积极的影响。不过，我们应该认识到，英国借鉴上海数学教学方法，希望达到的目的是大面积提高教学质量，促进学生的共同发展，减少学生之间存在的巨大差距。

从英国社会所概括的掌握教学的特点来看，上海数学教学强调了知识和技能的发展，这也从“局外人”的视角，反映了我国数学教学注重“双基(基本知识、基本技能)”的特征。然而，值得我们思考的是，近来OECD在《OECD学习框架2030》中又向未来公民提出了改革社会的三大核心素养(创造新价值、勇担责任和协调矛盾)，建议学校教育应当激发学生的学习激情，鼓励通过合作解决问题，发挥个人自主性和创造性。那么就上海数学教育而言，为了帮助学生更好地面对未来世界的挑战，还有哪些方面需要反思和改进呢?

第一，数学教学要赋予学生更多的自主性。从PISA 2012公布的学生自我报告的数据来看，上海的数学教学比较多地体现出教师为主(teacher-directed)，反映这一特征的指数远高于OECD的平均值(排在第八位)，学生为本(student-oriented)的教学策略较少，其对应的指数低于OECD的平均值(倒数第十)。关于这一点，英国学校的做法倒是值得我们借鉴。他们的数学教学往往给学生较多的自由思考空间，教师不作铺垫和引导。虽然这样的教学可能容易造成一部分学生的掉队，但是有利于另一部分学生发挥个人的创造性。

第二，数学教学要鼓励学生使用自我调控(control)的学习策略，促进他们元认知能力的发展。自我调控是指允许学生设定自己的学习目标，并对学习过程进行自我管理，包括自我组织学习材料、个人制订学习计划、反思自己使用的学习策略等。在这一方面，上海学生的指数远低于OECD的平均值，这是我们迫切需要解决的问题。

第三，东亚地区学生尽管获得的成绩很高，但是学生对所学学科兴趣普遍不高，对学习的成败普遍感到焦虑，同时学生的自信心也低于其他地区。但是，芬兰、荷兰、瑞士等国家却能兼顾学习高效和满意生活。这对于上海来说，又是一个需要努力改变的局面。

原创：黄兴丰，张民选

本文来源于《中国教育学刊》2019年第十一期，图片来源于网络，仅作分享交流用。著作权归原作者所有，若转载请注明出处。